PDA

View Full Version : Mnożenie liczb ujemnych.


aztec
29.03.2007, 12:27
Nie mogę zrozumieć dlaczego (-2) * (-2) * (-2) jest liczb± ujemn±,
a (-2) * (-2) jest liczb± dodatni±.
Czy kto¶ potrafi mi to wytłumaczyć i podać jakie¶ praktyczne zastosowanie takiego założenia (że minus razy minus daje plus) ?

Wacek
29.03.2007, 12:46
Z tym jest chyba jako¶ tak:

(-2)*(-2) =
(-(-2))+(-(-2)) =
2+2= 4

(-2)*(-2)*(-2)=
(-(-2))+(-(-2))*(-2) =
(-(-(-2)))+(-(-(-2)))+(-(-(-2)))+(-(-(-2)))=
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=(-8)

A co do zastosowania:
-2 to jest minus dwa
-(-(2)) to juz nie jest minus dwa to plus dwa
-(-(-2)) to minus dwa

-(-(2)) to 2 bo negacja negacji to prawda
a zanegowana negacja negacji -(-(-2)) to prawda czyli +2

aztec
29.03.2007, 13:47
Ja nie pytam pod tym k±tem.
Pytam o powód, dla którego uważa się, że mnożenie 2 liczb ujemnych daje dodatni±, trzech - ujemn±, czterech - dodatni±, itd.
Pytam o przyczynę, dla której się tak uważa ?
Jakie zjawiska, jakie fakty powoduj±, aby przyj±ć tak± zasadę ?

Athei Overlord
29.03.2007, 14:59
Z tym jest chyba jako¶ tak:

(-2)*(-2) =
(-(-2))+(-(-2)) =
2+2= 4

(-2)*(-2)*(-2)=
(-(-2))+(-(-2))*(-2) =
(-(-(-2)))+(-(-(-2)))+(-(-(-2)))+(-(-(-2)))=
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=(-8)

A co do zastosowania:
-2 to jest minus dwa
-(-(2)) to juz nie jest minus dwa to plus dwa
-(-(-2)) to minus dwa

-(-(2)) to 2 bo negacja negacji to prawda
a zanegowana negacja negacji -(-(-2)) to prawda czyli +2

Rzeczywiscie "chyba", totalny balagan.
Pomysl byl dobry, tylko ten zapis... ni cholery z tego nie rozumiem, chociaz idee dobrze znam.

Tlumaczen "na chlopski rozum" jest wiele, ale powod jest calkiem inny.

Kazda algebra ma swoj zbior obiektow i dzialan na nich. Aksjomatyka !
Dla liczb calkowitych mamy aksjomatyke Peano. Dla liczb rzeczywistych - opieramy sie na definicji liczby rzeczywistej jako ilorazie dwoch liczb calkowitych, byle dzielnik byl rozny od zera.

Podobnie z liczbami zespolonymi i hiperzespolonymi.
Aksjomatyka zostaje tak dobrana, aby dawalo sie tym rozwiazac rzeczywiste problemy, i aby w sytuacjach szczegolnych (np. czesci urojone rowna zeru) reguly byly takie same, jak dla liczb rzeczywistych (ktore sa przypadkiem szczegolnym liczb zespolonych). Oznacza to nadzbior praw (uogolnienie), ale nie "zupelnie nowe prawa" (zastapienie). Istnieje zatem podstawowy zbior regul (aksjomatow), z ktorych budujemy zasady ogolniejsze.


Co do tej zabawy ze zdnakami, to da sie to uzasadnic :idea: Wychodzimy tu od aksjomatyki Peano dla liczb naturalnych, a nastepnie mozemy sprobowac czegos takiego (mialem to na laboratoriach z matematyki przy okazji algebry)

1. Definicja "-1" {d1}
1+ (-1) = 0 -> stosunkowo czesto spotykane

2. Twierdzenie: 0 + (-1) = (-1) {tw1}
z definicji {d1} mamy:

a) 1 + (-1) + (-1) = 0 + (- 1) | dodanie (-1) stronami

b) (-1) + (1 + (-1) ) = 0 + (- 1) | przemiennosc i lacznosc dodawania

c) (-1) +(0) = 0 + (-1) | z def.

d) (-1) = 0 + (-1) --> bede uzywal skrotowo juz zapiu "0-1"


3. Dowodzimy (-1) x (-1) = 1 na podstawie udowodnionego twierdzenia {tw 1}:

(-1) x (-1) = (0-1) x (0-1) = | podstawienie (z def.)
= 0 x (0-1) - 1 x (0-1) | rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania
=0 - (0-1)
=0 - 0 + 1
=1

------

:shocked:
I co tu ma do rzeczy inwolucja ? Uzywasz uogolnien abstrakcyjnych. Zauwazasz analogie, ale tu nie ma przechodniosci regul, ze "podobnie czyni sie w przypadku". "Czlonek czlonka partii NIE JEST czlonkiem partii".

No i NIE znaczy to, ze dla innych obiektow bedzie podobnie, to zalezy od konkretnej algebry i praw z nia zwiazanych ! Przykladowo: mnozenie macierzy przez skalar to NIE jest to samo, co mnozenie macierzy przez macierz, chociaz wynikiem w obu przypadkach jest macierz.

------
trzech - ujemn±, czterech - dodatni±, itd.

... a dalej, to mozna latwo wykazywac na zasadzie:

(-1) * (-1) * (-1) * (-1) = ((-1)*(-1)) * (-1) * (-1) = 1 * (-1) * (-1) = (1 * (-1)) * (-1) = (-1) * (-1) = 1

Konsekwentne stosowanie tej samej reguly.

aztec
29.03.2007, 20:17
Ok, wszystko w miarę zrozumiałe. Oczywi¶cie przy założeniu, że dwa minusy daj± plus.
Ale w takim razie nie widzę odniesienia do rzeczywisto¶ci.
Bo załóżmy, że Ja¶ ma dwa złote, a Tomek dwa złote długu.
Dwa złote Jasia podniesione do kwadratu daj± 4 złote i dwa złote długu Tomka podniesione do kwadratu daj± również 4 złote ale już nie długu. . Do póki stosujemy na tym przykładzie dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych i dodatnich jest OK, ale gdy zagłębiam się w mnożenie, zaczynaj± się komplikacje. Gdzie tu sens ?
Lub sk±d wiadomo, że zastosowana metoda jest zła ?
Skoro zastosowanie do tego przykładu dodawania i odejmowania daje pozytywne rezultaty, dlaczego mnożenie przekre¶la sens wszystkiego.
A może matematykę stosuje się tylko do okre¶lonych przykładów ?

Tgc
29.03.2007, 21:06
Hmm nie do konca jest tak jak mowisz. 2zl podniesione do kwadratu daja 4zl^2. A to nie jest to samo co 4zl ;-). Problem rozwiazuje potegowanie samej wartosci, a nie jednostek ich opisujacych. Czyli zalozmy ze Jasio ma 2 zl dlugu i dlug ten zapiszmy jako: (-2zl). Chcemy jego dlug podniesc do kwadratu ale by zachowac sens mnozymy sama liczbe a nie jednostki opisujace dany element czyli nie piszemy (-2zl)^2 ale -(2)^2zl i juz wszystko jest w porzadku, Jasio jest teraz -4zl w plecy. Aby lepiej zobrazowac ten problem napisze dowod ciekawostke powinienes teraz bez problemu znalesc w nim blad.

Udowodnie ze 1zl = 1gr:
1zl = 10gr * 10gr = 0,1zl * 0,1zl = 0,01zl = 1gr

Athei Overlord
29.03.2007, 21:13
Oczywiscie, ze matematyke w okreslonej postaci mozna stosowac jedynie do okreslonych (sensownych) przykladow.

Moglo by sie zdawac, ze w dodatku pewne pojecia matematyczne zyskuja nowy sens w fizyce. Minus 20 stopni Celsjusza to zupelnie co innego, niz wektos minus 5 metrow na sekunde. Ale to tylko zludzenie. W jednym przypadku mowimy o skalarze, ktory rzadzi sie innymi prawami, niz wektor. "Minus" zostal dla kazdego z nich OKRESLONY.

Matematyka nie ma zastosowania tam, gdzie brak sensu fizycznego. Pojecie minus 2 zlote jest czysto umowne, choc ma sens fizyczny. Ale juz podniesienie do kwadratu jakiejs kwoty NIE MA sensu fizycznego. 4 zlote kwadrat nie ma zadnego znaczenia. Dopoki mu go nie nadasz. O ile wiem, to w ekonomii uzywa sie jedynie dodawania kwot i ich odejmowania, a takze mnozenia ich przez skalar.

Dlaczego ? Bo "dwa" i "dwa zlote" to obiekty z ROZNYCH klas abstrakcji. (skalar i pieniadze)

Podobnie, nie ma sensu fizycznego pierwiastkowanie liczby jablek i logarytmowanie predkosci lotu wrobla (bo ta wartosc nic mi nie mowi). Za to pierwsza i druga pochodna drogi, jaka przebedzie wrobel, po czasie, w ktorym to sie stalo - ma jak najbardziej sens (prekosc i przyspieszenie).

Jesli zaczynasz odnosic matematyke, ktora jest alfabetem pojec abstrakcyjnych (jak "liczba") do swiata rzeczywistego, obowiazuja Cie zasady swiata rzeczywistego. Jesli chcesz "byc w domu" i moc uzywac pojec ze swiata fizycznego w matematyce, musisz ZDEFINIOWAC te pojecia.

LICZBA jako taka jest zupelnie odrebnym bytem (choc abstrakcyjnym, nie ma "fizycznej" reprezentacji). Rzadzi sie swoimi prawami. Poslugujac sie terminologia z programowania obiektowego - liczba jest pewna klasa. ma pewne wlasnosci. Jablko tez jest pewna klasa (chociaz fizyczna). Tez ma swoje wlasnosci. Ptak rowniez. Pieniadze - rowniez - jako przedmioty i jako WARTOSCI (kwota).

Mozemy zdefiniowac teraz iloczny jablka i skalara. Bedzie on nam dawal LICZBE JABLEK (2 razy jablko = 2 jablka). Ale juz SUMA skalara i jablka jest totalnie bez sensu (2 dodac jablko = ???)

Podobnie pieniadze. Pieniadze sa bytem bardziej zlozonym. Sa troche jak wektor. Maja swoja fizyczna reprezentacje (np. monety bilonu) i wartosc (np. 5zl). Mozemy je liczyc (dodajemy MONETY) i okreslac i wartosc (liczba monet RAZY ich wartosc). Mozemy jednak dodawac wartosci monet: 5zl + 5zl = 10zl

Obiekt moze miec ROZNE wlasnosci i wszystkie one moga byc traktowane w jakis sposob "matematycznie". Ale nalezy wowczas powiedziec, jaki ma to SENS.

I zupelnie tak samo jest w matematyce. Takimi "liczbami" sa:

:arrow: liczby naturalne, calkowite, rzeczywiste, wymierne, niewymierne, zespolone, kwaterniony, oktawy. W arytmetyce i algebrze jest JASNO powiedziane, co to jest suma dwoch liczb rzeczywistych, wymiernych i zespolonych.

:arrow: macierze, wektory, tensory, spinory
w algebrze macierzy DOKLADNIE wiadomo, co to jest suma dwoch macierzy.

:arrow: wektory w znaczeniu geometrycznym
w geometrii DOKLADNIE jest powiedziane, co oznacza suma dwoch wektorow

:arrow: funkcje, funkcjonaly, operatory, dystrybucje
Suma dwoch funkcji to wazne zagadnienie z zakresu analizy funkcjonalnej

I teraz - bardzo wazny jest fakt, iż kazda z tych "liczb" ma zdefiniowane co najmniej dwa rodzaje dzialan:

:arrow: wewnetrznych - wynik dzialania jest tej samej klasy (w rzeczywistosci to sie nazywa i okresla zupelnie inaczej, ja dokonuje pewnego uprszczenia), co oba argumenty, np. 2+2 = 2 SKALAR, [1,0]+[0,1] = [1,1] WEKTOR, (2+1j) + (1+3j) = (3+4j), jablko + jablko = 2 JABLKA, 3zlote + 2 zlote = 5 ZLOTYCH

:arrow: zewnetrznych - wynik dzialania jest INNEJ klasy, niz oba arguenty, lub "argument wybrany" ( gdy mnoze liczbe jablek razy skalar): metr razy metr = metr kwadratowy, macierz razy skalar = macierz, SKALAR razy wektor = wektor

Moze sie zdarzyc takze inaczej - ze dzialanie na dwoch "liczbach" z tej samej klasy daje w wyniku "liczbe" INNEJ klasy: (0+1j) * (0+1j) = -1

Wektor x Wektor = Wektor, ale juz Wektor * Wektor = Skalar

Moze sie zdarzyc tak, ze dane dzialanie NIE MA SENSU:
Liczba jablek * Liczba jablek - co by to mialo znaczyc ? Metr kwadaratowy tkainy latwo sobie wyobrazic, ale kwadrat liczby jablek ?

No dobrze, czas wprowadzic pojecie "WARTOSCI" "liczby", nazywa takze jej modulem. Moduł mowi nam "jak rozumiec wartosc "liczby".

Modul (3+4j) = pierwiatek(3^2 + 4^2) = pierwiastek(9+16) = pierwiastek(25) = 5

Modul wektora - to jego dlugosc

Modul wektora szybkosci, to predkosc.

Modul "kwadratu liczby jablek" powie nam.... to, co sobie zdefiniujemy. Na przyklad, ze okresla on liczbe jablek. I ze stosuje sie to tylko do liczby CALYCH jablek (a nie np. polowki jablka), bo inaczej potegowanie liczby jablek znow nie bedzie mialo sensu: 0,5 jablka razy 0,5 jabkla = 0,25 jablka ?

Mozesz zdefiniowac mnozenie w obrebie liczb i jablek. I od razu przypisujesz mu okreslony sens - "pomnozenie LICZBY jablek przez skalar daje w wyniku LICZBE JABLEK"

----
Podsumowjac: matematyka daje tylko narzedzie. To, jak go uzyjesz, zalezy tylko od Ciebie. Mlotka mozesz uzyc do mieszania herbaty, a kostki cukru do wbijania gwozdzia. Czy bedzie to mialo sens i jaki - Ty decydujesz.

Matematyka zna TYLKO pojecie liczby. Obce jej sa jablka, pieniadze, mlotki i elektrony.

------------
PS: Kolega Tgc byl szybszy :P Brawo! Podejscie od strony jednostki bylo oczywiscie prostsze, niz od strony klas abstrakcji. Chyle czola ;)

Wacek
29.03.2007, 21:54
Cały poblem sprowadza sie do tego czym jest liczba podwójnie ujemna -(-2)
A skoro znak ujemnosci przenosi liczbe na drug± strone skali. To dwa znaki ujemne przenosz± j± tam i spowrotem. :wink:

aztec
29.03.2007, 22:26
Ok, czyli przede wszystkim chodzi o to, że matematykę dopasowywuję do odpowiednich zjawisk, zdarzeń itd. A nie na odwrót. Dzięki .

Tgc
30.03.2007, 15:36
(-1) x (-1) = (0-1) x (0-1) = | podstawienie (z def.)
= 0 x (0-1) - 1 x (0-1) | rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania
=0 - (0-1)
=0 - 0 + 1
=1

Dopiero teraz to zauwazylem. Widze tutaj pewien blad, dowodzisz ze (-1) x (-1) = 1 a kozystasz z tej wlasnosci w trakcie dowodu.
0 - (0-1) =0 - 0 + 1
Oczywiscie to jest prawda, ale minus przed nawiasem to to samo co -1. Wiec korzystasz tutaj z tego co masz dowiesc czyli wykonujesz dzialanie -1 x -1 .

Athei Overlord
30.03.2007, 18:36
Dobra, tym razem 2 pomysly i jak mi sie nie uda, to wiecej nie probuje.

Z definicji liczby ujemnej

1. Liczba a jest ujemna <=> (-1) * a > 0
2. Liczba jest dodatnia <=> a > 0

Niech a bedzie liczba ujemna, rowna a=-1
(-1) * a>0
(-1)*(-1) > 0

Iloczyn dwu liczb ujemnych okazal sie dodatni.
Jesli okreslimy go jako b, to (-1)*a = b>0

Ale to jest chyba malo formalne, i jakby rekurencyjne... nie umiem tego jakos ladniej zapisac... chyba ten sam blad co powyzej :/

------------------------------

Ten jest chyba formalniejszy :]

2. Niech x i y beda dwiema liczbami rzeczywistymi.

Dowod zrobie troche od dupy strony.
Najpierw zaloze, ze -*-=+, cos tam poprzeksztalcam z uzyciem tego zalozenia i sprawdze, czy w wyniku jego przyjecia nie dostane sprzecznosci.

Czasem, jak trzeba cos udodownic, to dodaje sie do danego wyrazenia wyrazenie rownowazne zeru, albo mnozy sie je przez wyrazenie rownowazne 1, a nastepnie robi sie odpowiednie przeksztalcenia i na tej drodze dowodzi twierdzenia.

Bede chcial udowodnic, ze x*y = (-x)*(-y).
Do poż±danego x*y dodam zero na 2 rozne sposoby :arrow: Q=x*y + 0_1 + 0_2.

"Zera" uzyskam z zalozenia, ze -*-=+

Tak dobiore te zera, zeby po wylaczeniu odpowiednich czynnikow przed nawias uzyskac raz, ze Q=x*y, a raz, ze Q=(-x)*(-y)

Jesli mi sie to uda, to dowiodlem, ze -*-=+, a jak otrzymam sprzecznosc, to .... :]

Po paru kombinacjach alpejskich wymyslilem cos takiego (wazna jest kolejnosc, kazda inna mozna do tej sprowadzic korzystajac z przemiennosci dodawania).

Start

Q = x*y + (-x)*y + (-x)*(-y) // z zalozenia wynika, ze suma 2 ostatnich czlonow jest rowna zeru

Wylaczam przed nawias x z prawego wyrazenia (chce uzyskac czyste xy, wyciagnawszy x przed nawias dostane w nim 0)

Q = x*y + (-x)[ y + (-y) ]
= x*y + (-x)* [0]
= x*y + 0
= x*y.

Teraz wyciagne przed nawias y z pierwszego wyrazenia, chce uzyskac (-x)*(-y)

Q= [ x + (-x) ] * y + (-x)*(-y)
= 0 * y + (-x)*(-y)
= 0 + (-x)*(-y)
= (-x)*(-y).

L: Q=x*y = (-x)*(-y) = Q : P

L=P

x*y = (-x)*(-y)
c.n.d.


Jak tu jest gdzies blad w pomy¶le, to sie poddaje :/

domin
30.03.2007, 21:41
Najpierw zaloze, ze -*-=+
Bede chcial udowodnic, ze x*y = (-x)*(-y)
Jak tu jest gdzies blad w pomy¶le, to sie poddaje :/

(Czemu nie używasz polskiej czcionki, Athei?)
Spróbuję obalić to rozumowanie. A je¶li mi się to uda, to jednak okaże się, że AO nie jest nieomylny, o co go podejrzewałem! ;-)

Otóż nie pasuje mi to założenie, że -*-=+. Chyba to chcesz wła¶nie udowodnić!!! Bo Ty wykazałe¶, że iloczyn dwóch liczb jest równy iloczynowi ich odwrotno¶ci. No i spoko. Natomiast nie o to pytał aztec. On pytał się, dlaczego minus razy minus daje plus. A Ty to założyłe¶! On się pyta, sk±d to założenie?

domin
30.03.2007, 21:53
Natomiast wyczytałem z mojego podręcznika do matmy warunki na to, aby zbiór X był nazywany przestrzeni± liniow±. Jest tam taki oto warunek:

a(bx) = (ab)x (zreszt± to się wydaje oczywiste NZCR*)

Dla a=-1 i b=-1
-1(-1x) = (-1*-1)x
-(-x) = (--)x

Czyli przeciwno¶ć przeciwno¶ci x jest równa iloczynowi dwóch minusów razy x.
Przeciwno¶ć przeciwno¶ci to NZRC* to samo, co wcze¶niej (operacje się znosz±**), czyli wyjdzie sam x.
W takim układzie iloczyn minusów też musi się znie¶ć, żeby został sam x, żeby zgadzała się równo¶ć.

___
* - NZRC - na zdrowy chłopski rozum

** - A skoro znak ujemnosci przenosi liczbe na drug± strone skali. To dwa znaki ujemne przenosz± j± tam i spowrotem. -

Athei Overlord
30.03.2007, 22:07
Natomiast wyczytałem z mojego podręcznika do matmy warunki na to, aby zbiór X był nazywany przestrzeni± liniow±. Jest tam taki oto warunek:

a(bx) = (ab)x (zreszt± to się wydaje oczywiste NZCR*)

Dla a=-1 i b=-1
-1(-1x) = (-1*-1)x
-(-x) = (--)x

Czyli przeciwno¶ć przeciwno¶ci x jest równa iloczynowi dwóch minusów razy x.
Przeciwno¶ć przeciwno¶ci to NZRC* to samo, co wcze¶niej (operacje się znosz±**), czyli wyjdzie sam x.
W takim układzie iloczyn minusów też musi się znie¶ć, żeby został sam x, żeby zgadzała się równo¶ć.

___
* - NZRC - na zdrowy chłopski rozum

** - A skoro znak ujemnosci przenosi liczbe na drug± strone skali. To dwa znaki ujemne przenosz± j± tam i spowrotem. -


1. No to po kolei - nie jestem matematykiem, rzygam matematyka, mam z nia bardzo zle wspomnienia :/ Dlatego nie wymagaj ode mnie profesjonalizmu w dowodzeniu. Na forum matematycznym nie odwazylbym sie NIC napisac, bo to jest zupelnie inny poziom. Tutaj mozemy sobie podyskutowac na "srednim" poziomie, a jesli trafi tu ktos, kto umie to uporzadkowac i ubrac w formalizm, to bardzo dobrze ! To, ze zajmuje sie statystyka, nie oznacza, ze jestem matematykiem ;)

Jesli umiesz to zrobic lepiej - to tym lepiej, bo jak ktos tu przyjdzie z zamiarem nauczenia sie czegos, to lepiej, zeby mial DOBRE wzorce, a nie "prawie" dobre. I przyznaje, ze to, co napisales, jest bardzo zgrabne - korzystasz tylko raz prawa lacznosci mnozenia... Mnie sie podoba. Piwo :)


(Czemu nie używasz polskiej czcionki, Athei?)

Nie lubie ;) Powaznie, Polskie Znaki Diakrytyczne mnie denerwuja ;)

domin
30.03.2007, 22:18
Dzięki za piwo. Może na jakim¶ zjeĽdzie?
A ode mnie masz w zamian prezent:

±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó
±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó±ę¶ćńĽó

Athei Overlord
30.03.2007, 22:41
Zlosliwiec :]

A moze tak ?

x, y - dodatnie

x + (-x) = 0 (def. liczby ujemnej)

(x + (-x)) * (-y) = 0 * (-y) :arrow: = 0

x * (-y) + (-x) * (-y) = 0

(-x)*y + (-x) * (-y) = 0 | +x*y

(-x) * (-y) = x*y

To rowniez jest dowod na to, ze iloczyn dwu danych liczb dodatnich jest rowny iloczynowi liczb przeciwnych do danych.

Ale czy to nie tlumaczy, dlaczego -*-=+ ?

To nie jest aksjomat. Zauwaz, ze Ty tez dowiodles identycznej rzeczy, chociaz wyszedles z jednego z twierdzen algebry o przestrzeniach liniowych.

Jak by nie patrzec, do tej chwili nikt nie podal zasady "ale dlaczego tak?". Moze wiec wystarczy odpowiedz - bo wynika to z podanych dowodow ?

Nie ma przeciez definicji mnozenia liczb ujemnych ! Jest twierdzenie, ktore nastepnie mozna udowodnic, jak to zrobilem.

Athei Overlord
30.03.2007, 22:59
O, wlasnie "zlapalem idee".

Zdefiniowano JEDYNIE pojecie liczby ujemnej.

Sprawa ze znakami wyszla w trakcie "badania" tego nowego tworu. Zadnego "odgornego" definiowania, ustalania. Efekt uboczny !

Po prostu - tylko - i az tyle !

aztec
31.03.2007, 00:54
Na razie jestem zbyt zmęczony aby analizować dalsze dowody, Jutro się za nie zabiore.
Ale moja my¶li zrodziła się st±d, gdyż uznałem, że całe liczby ujemne to pewna umowno¶ć. Nigdzie w naturze nie maj± zastosowania, bo zawsze można użyć dodatnich. Starożytni grecy również nie uważali ich za liczby "prawdziwe".
Ale skoro uznajemy, je za faktyczne. To cała pula liczb ujemnych i operacji na nich. Powinna być lustrzanym odbiciem liczb dodatnich. Jak alicja po drugiej stronie lustra lub co¶ w tym stylu :-)
Więc wg mnie niedopuszczalne jest, aby, podczas gdy:
odpowiednik 2 wynosił -2,
odpowiednik 2^2 wynosił 2^2.
W tym momencie cała pula liczb ujemnych nie jest dla mnie "lustrzanym" odbiciem liczb dodatnich, a wydaje mi się, że powinna być.
Skoro ¶wiat liczb ujemnych jest odbiciem liczb dodatnich, to poruszaj±c się tylko po ¶wiecie liczb ujemnych powinni¶my traktować to tak jakby liczby dodatnie nie istniały.
Jutro przeanalizuję jeszcze te dowody..

Athei Overlord
31.03.2007, 01:12
Ale wez, prosze, pod uwage, ze tego sie nie ustala "aby ladnie wygladalo", tylko to wszystko sa konsekwencje przyjetych zalozen co do charakteru liczby.

Zobacz, jak niewiele potrzeba, aby zdefiniowac arytmetyke liczb naturalnych - jedynie aksjomaty Peano ! Jak niewiele potrzeba, aby zdefiniowac geometrie euklidesowa ! Caaaala poteeeezna geometrie...

Ustala sie, na przyklad, ze istnieje w danej grupie istnieje taki element a, ze dodanie go do dowolnego elementu tej grupy nie zmienia wartosci tej operacji (element neutralny dodawania - zero):

x + a = x :arrow: a = 0

A potem mozna dodac, ze zawsze istnieje taki element v, ze jego suma z dowolnym elementem x wynosi zero (element przeciwny do danego):

x + v = 0 :arrow: v = -x

A nastepnie, ze istnieje element T neutralny mnozenia (jeden)

x * T = x :arrow: T=1

A potem, ze dla kazdej liczby calkowitej w, za wyjatkiem zera, istnieje taki element z, ze jego iloczyn z dana liczba wynosi jeden (element odwrotny do danego):

w * z = 1 :arrow: z = 1/w

i tak dalej, to sa to jedynie podstawowe definicje. Cala reszta twierdzen wynika jedynie ze stosowania tych definicji i nic tu nie mozna "przyjac", ze "ladnie wyglada". Jedno wynika z drugiego, w mysl konsekwentnie stosowanych, jasno ustalonych i niezmiennych regul.

Przyklad: poniewaz nie zdefiniowano dzielenia przez zero, jak rowniez nie wiadomo bylo jak operowac nieskonczonosciami, potrzebne bylo pojecie granicy. Gdy znaleziono pojecie granicy, to juz w sumie bylo sie o krok od pochodnej, a zatem i rozniczki... i tak jedno "napedzalo", generowalo drugie.

aztec
31.03.2007, 10:51
No, racja, że jedno poci±gnęło drugie.
Jednak matematyka powinna dać się stosować do rzeczywisto¶ci.
Czyli jeżeli używam np liczb rzeczywistych, zespolonych, czy innych,
I mogę robić na nich proste operacje logiczne jak dodawanie i odejmowanie, uzyskuj±ć pozytywne efekty - czyli zgodne z rzeczywisto¶ci±.
To zakładam również, że stosuj±c wyższego rzędu operacje, jak mnożenie, czy podnoszenie do potęgi, również uzyskam realne efekty.

Czyli: Mam problem w jakiej¶ dziedzinie nauki. Do jego rozwi±zania stosuję sobie pulę liczb rzeczywistych. Jeżeli dodawanie i odejmowanie daje mi realne i pozytywne efekty, to zakładam, że również mnożenie tych liczb takie efekty przyniesie. A tak nie jest.

We wspomnianym wcze¶niej przykładzie np stanu na koncie i debetu, czyli mojego długu względem banku. Mogę ¶miało założyć, że mój dług jest warto¶ci± ujemn±, a jeżeli dług przestanie istnieć czyli pojawia się kasa na koncie, to te warto¶ci s± warto¶ci± dodatni±.
Mogę wykonywać wszelkie operacje, jakie wykonuj± banki, czyli wybrać jeszcze więcej pieniędzy, lub wpłacić na konto. Wszelkie operacje dodawania i odejmowania czy to długu, czy realnych warto¶ci daj± pozytywne wyniki. Więc, moim zdaniem powinienem zakładać, że również mnożenie przez siebie tych warto¶ci będzie dawało wyniki normalne.
A tak nie jest.
Bo bank mógłby sobie ustalić zasadę, np. Jeżeli jeste¶ na minusie (czyli masz dług na koncie), to twój dług każdego dnia ro¶nie do kwadratu.
Założę się, że w tym przypadku bank nie podniósł by faktycznie do kwadratu mojego długu. (bo okazało by się że wpłynęło mi na konto trochę kasy :-)), tylko posłużył by się potęgowaniem liczb dodatnich, podczas gdy wszelkie inne operacje wykonuje z zastosowaniem liczb ujemnych.
Czyli ja wnioskuję, że w matematyce, do pewnych rozwi±zań stosuje się tylko te zasady, które spełniaj± nasze wymagania. A te które s± niezgodne z wymaganiami się odrzuca.
I tak w przypadku banku stosuje się dodawanie i odejmowanie, a odrzuca się mnożenie i potęgowanie. Gdyż jest ono w tym przypadku bez sensu. A teoretycznie, wg mnie, nie powinno być bez sensu.

Athei Overlord
31.03.2007, 11:48
Alez nie mozesz sobie tych dzialan dostosowywac do rzeczywistosci, bo one wynikaja z natury liczb ujemnych ! Zmienisz choc jedna rzecz i szlag trafi absolutnie cala matematyke. Absolutnie. Nic sie juz nie bedzie zgadzalo, bo zmienia sie wlasnosci liczb rzeczywistych, cala analiza matematyczna, wektory, macierze i tak dalej.

Wymyslilismy liczby ujemne, zgodnie z nasza intuicja. Ale musimy sie pogodzic, ze niestety, to, co wymyslilismy, rzadz sie juz swoimi prawami.

Przyklad religijny :D
To jak w Biblii - bog stworzyl czlowieka, ale od tej pory czlowiek (podobno) rzadzi sie swoimi prawami, nawet, jesli prowadzi to do ludobojstwa i zniszczenia planety.

Analogia Excela
Przypomnij sobie jak dzialaja formuły w Excelu. Zalozmy, ze masz zdefiniowana komorke, od ktorej uzalezniasz inne za pomoca formul. Np. a komorce A1 masz wartosc, ktora mozesz zmieniac (zestaw aksjomatow). W komorce B1 masz formule sin(a1), w komorce C1 masz formule log(b1) i tak dalej. Z wynikow jednej komorki korzysta nastepna.

Dopoki majstrujesz tylko przy a1, nie jest zle. Inne komorki dostosowuja swa zawartosc do a1. A i to nie zawsze, bo moge w a1 wpisac taka liczbe, ze dana formula zwroci BLAD (np. gdy a1 wynosi 4,712 (3/2 pi), to formula b1=sin(a1) zwroci -1 i z kolei wysypie sie log(b1)). Czyli nie dla kazdego przyjetych zalozen wszystkie inne, wyprowadzone wczesniej twierdzenia, beda mogly istniec. To raz.

Jesli jednak w ktoras z tych wyliczanych komorek wpiszesz jaka liczbe, ZERWIESZ FORMULE, ktora laczyla te komorke z innymi. A w konsekwencji, pozrywasz WSZYSTKIE formuly powyzej tej jednej komorki.

-----------------------------------------------------------------------

Matematyka to język. Język ten musi być spójny wewnętrznie (żadnych "założeń bez dowodu" :!:), bo ma on sluzyc do BADANIA. Operuje on na swiecie abstrakcji.

Abstrakcje te sa potrzebne w etapach posrednich wyprowadzenia wzorow fizycznych :!:

Analogia ze swiata statystyki
Zanim z dwu zmiennych losowych "wyciagniemy" ich korelacje, wartosc PROSTˇ do zrozumienia, musimy przejsc przez kilka "polfabrykatow" - w tym sumy iloczynow odchylen wartosci zmiennej od sredniej.

Zanim obliczymy wspolczynniki regresji liniowej wielokrotnej, musimy posluzyc sie macierzami i ich wyznacznikami.

Analogia ze swiata elektrotechniki
Zanim obliczymy wartosc oporu, jaki dla pradu zmiennego audio stanowi cewka glosnika, musimy przejsc przez liczby zespolone.

Analogia ze swiata dynamiki
Aby moc policzyc droge, jaka przebylo cialo od chwili t1 do t2, musimy uzyc calki INT funkcja_predkosci * dt. Uzycie calki wymaga, aby funkcja byla ciagla na rozpatrywanym przedziale.

--------
Fizyka jest opisem rzeczywistosci. Proba opisania matematyka tego, co nas otacza. Ale matematyka rzadzi sie swoimi prawami, a poniewaz jest SPOJNA WEWNETRZNIE, nie mozemy w nia ingerowac.

Poniewaz jednak probujemy nia opisac swiat, ktory ROWNIEZ rzadzi sie SWOIMI prawami, otrzymujemy pewne przyblizenie.

Stosowalnosc roznych praw w matematyce i fizyce, to tylko pewna czesc wspolna obu tych nauk. Mamy tutaj ograniczenia ulozone zstępuj±co:

1. Matematyka mowi, ze nie wolno dzielic przez zero, a minus razy minus daje plus

2. Fizyka mowi, ze nie moze byc szybkosci ujemnej, ani masy ujemnej, w dodatku predkosc swiatla jest ograniczona i wynosi C, ale i to C jest rozne w zaleznosci od osrodka. Temperatura nie moze byc nizsza od zera absolutnego. Istnieje zasada zachowania energii i momentu pędu. Czas i predkosc sa rzeczywiste.

Ale juz pewne elementy fizyki zmienia sie w zaleznosci od przyjetej teorii ! Na przyklad czas i predkosc byc moze moga byc zespolone, a predkosc swiatla byc moze nie jest ograniczona, a kwant energii to tylko przyblizenie wynikajace z mechaniki kwantowej.....

Jesli natomiast fizycznie nie mozna wyjasnic szybkosci ujemnej, to albo wprowadza sie twor zwany wektorem i wszystko gra, ale wowczas nazywa sie te wielkosc predkoscia, albo konsekwentnie bierze sie modul z szybkosci.

Jesli fizycznie cos jest bez sensu, to niestety, priorytetem jest swiat rzeczywisty. Matematyka NIE ZNA pojecia pieniadza, predkosci, masy, etc. Podobnie jak jezyk programowania nie zna pojecia telewizora, czy tez czlowieka :!:

http://img401.imageshack.us/img401/4834/cdcdwr2.th.jpg (http://img401.imageshack.us/my.php?image=cdcdwr2.jpg)

Moze sie jednak okazac, ze sa zjawiska, ktorych znana nam matematyka NIE POTRAFI rozwiazac. Np. obecne teorie unifikacji potrzebuja bardzo zaawansowanego aparatu matematycznego, ktory nie byl dostepny jezcze 50 lat temu.

Wowczas tworzy sie nowe galezie matematyki (np. teoria dystrybucji, geometrie nieeuklidesowe, topologia), ale zauwaz - ONE ZAWSZE MUSZA BYC SPOJNE Z RESZTA MATEMATYKI i NIGDY nie tworzy sie ich w oderwaniu od reszty definicji i twierdzen.

Jesli i to nie wystarcza do opisu wszechswiata, trzeba umiejetnie konstruowac nowe twory matematyczne, ale ZAWSZE w zgodzie z pozostalymi.

Bo tylko to daje nam pewnosc, ze umiemy powtorzyc nasze obliczenia, ze beda one sie daly badac narzedziami matematyki, ze sa one poprawne (DOWOD) i ze nie przecza innym prawom matematyki. W takiej sytuacji KAZDY moze dojsc do takich samych wnioskow, stosujac prawa matematyczne, jak doszli do tego np. Leibnitz i Newton, definiujac rachunek calkowy.

Albo jak doszedl do wielu znanych od setek lat twierdzen OD ZERA - Srinivasa Ramanujan, stosujac tylko pewne podstawowe definicje i twierdzenia, ktore znal ze szkoly. (o tej postaci juz pisalem tu kiedys, warto zapoznac sie z nia)

zefciu
10.04.2007, 10:21
Wydaje mi się, z tego, co piszesz Aztec, że potrzebujesz jakiego¶ przykładu z empirii. Dam więc może brzydki przykład, ale za to prosty.

Mamy samochodzik jad±cy po drodze z Poznania do Warszawy (położenie Poznania na osi oznaczamy jako 0, położenie Warszawy jako 1) w sposób opisywany przy użyciu wektora prędko¶ci, który upraszczamy w ten sposób do skalara, że gdy samochodzik jedzie z Poznania do Warszawy przyjmujemy, że jego prędko¶ć jest dodatnia, a je¶li z powrotem - ujemna. Samochodzik oczywi¶cie jedzie ruchem jednostajnym-prostoliniowym.

Je¶li więc chcemy obliczyć jak zmieni się położenie położenie samochodzika po zmianie czasu Δt musimy pomnożyć Δt * V i wychodzi nam droga jak± przebył. Je¶li wynik jest dodatni, znaczy że samochodzik przybliżył się do Warszawy, je¶li ujemny - do Poznania. Załóżmy teraz możliwe przypadki:

Samochodzik jedzie do Warszawy i pytamy się o to, gdzie będzie się znajdował w przyszło¶ci. Zarówno Δt jak i V s± dodatnie, wynik jest dodatni, rzeczywi¶cie samochód po naszym Δt będzie bliżej Warszawy.
Samochodzik jedzie do Poznania, pytamy o przyszło¶ć. V jest ujemne, Δt jest dodatnie, wynik ujemny - samochodzik będzie bliżej Poznania.
Samochodzik jedzie do Warszawy, ale my pytamy o przeszło¶ć (gdzie był on godzinę temu?). V jest dodatnie, Δt ujemne, wynik ujemny - samochodzik w przeszło¶ci był bliżej Poznania.
Samochodzik jedzie do Poznania, a my pytamy o przeszło¶ć. V ujemne, Δt ujemne, wynik dodatni - w przeszło¶ci był bliżej Warszawy.

Tak więc widać, że zasada matematyczna, która każe przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych dawać wynik dodatni jest nie tylko spójna (co wykazał Athei), ale też zgodna z naszym codziennym do¶wiadczeniem i nadaje się do matematycznego opisu zjawisk wokół nas.


Dwa złote Jasia podniesione do kwadratu daj± 4 złote i dwa złote długu Tomka podniesione do kwadratu daj± również 4 złote ale już nie długu.
O nie nie! Dwa złote do kwadratu nie daj± 4 złotych. Kiedy¶ była taka ¶mieszna zagadka:
1 zł = 100 gr = 10 gr * 10 gr = 0,1 zł * 0,1 zł = 0,01 zł = 1 gr
Oczywi¶cie to bzdura, bo 10 gr * 10 gr to 100 gr² podobnie (2 zł)² to 4 zł². Obie jednostki s± oczywi¶cie bez sensu, bo nie ma czego¶ takiego jak złoty kwadratowy (nawet jak użyjemy młotka).